Analyse et calcul matriciel - MVA101

Objectifs

Partie Analyse: Apprendre la représentation des fonctions par des séries, les principales transformations et leurs applications. Partie Algèbre: Apprendre le calcul matriciel.

Programme

1. Généralités sur les séries numériques
Suites numériques : rappels.
Séries numériques : définitions et exemples (Série géometrique) ; convergence absolue ; critères de convergence pour séries à termes positifs (régle de D'Alembert, régle de Cauchy, etc.) ; Critères de convergence pour séries à termes quelconques (Séries alternées, Règle d'Abel, etc.).

2. Représentation des fonctions
Séries entières, disque de convergence, fonctions analytiques, développement en série entière des fonctions usuelles, application à la résolution de certaines équations différentielles.
Fonctions périodiques, séries trigonométriques, coefficients de Fourier, Séries de -Fourier, Théorème de Jordan-Dirichlet, Formule de Bessel-Parseval.

3. Transformation de Fourier
Espaces L^1 et L^2 ; Transformée de Fourier ; Transformée de Fourier inverse ; propriétés de la Transformée de Fourier (Dilatation, Retard, Translation, Symétrie) ; -Transformée de Fourier et dérivation ; formule de Bessel-Parseval ; Convolution.

4. Calcul matriciel
Matrices à coefficients réels (et éventuellement complexes), opérations sur les matrices.
Déterminant et des matrices inversibles: le déterminant est une forme volume, les matrices inversibles conservent les parallélogrammes, les parallélépipèdes,...Le calcul du déterminant ne sera présenté qu'en dimension 2 et 3. Les considérations numériques pourront être évoquées pour justifier la nécessité de développer des outils de calcul scientifique performants.)
Valeurs propres, vecteurs propres, multiplicité des valeurs propres, diagonalisation.
Application au calcul des puissances d'une matrice et aux exponentielles de matrices. Exemple en mécanique: matrice d'inertie.

5. Résolution de systèmes différentiels
Résolution des systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants par la transformation de Laplace ou en utilisant la notion d'exponentielle de matrice. A ce sujet on introduira rapidement la transformée de Laplace.